A 34 éves hálóőr 2028-ig szóló szerződést írt alá a felcsúti klubbal, ezzel hosszú távra biztosítva a csapat kapusposztjának stabilitását. Szappanos pályafutása Jászberényből indult, majd a Ferencváros utánpótlásrendszerében fejlődött tovább. Innen Dunaharasztira, később Tatabányára, majd Zalaegerszegre vezetett az útja, ahol már komoly NB II-es tapasztalatot szerzett.

A ZTE-től 2018 nyarán igazolt Mezőkövesdre, és itt debütálhatott a magyar élvonalban is. Az első osztályban nyújtott teljesítményének köszönhetően 2021-ben a Budapest Honvéd szerződtette, ahol két idényt töltött el. 2023-ban a Paksi FC-hez igazolt, ahol meghatározó szereplőjévé vált a csapatnak.

A tolnai klubbal két Magyar Kupa-győzelmet, egy bajnoki ezüstérmet és egy harmadik helyezést is elért – ezek mind hozzájárultak hírnevének megszilárdulásához a hazai mezőnyben. Összesen 183 NB I-es mérkőzés szerepel neve mellett, ami jelentős rutint jelez a posztján.

A Puskás Akadémia a klub hivatalos honlapján közzétett közleményében így számolt be az érkezéséről:
„Rutinos kapus igazolt első csapatunkhoz, miután Szappanos Péter 2028-ig szóló szerződést kötött klubunkkal.” 2024 nyarán Szappanos külföldön is kipróbálta magát, fél szezont töltött el a szaúdi élvonalban, az Al-Fateh csapatánál. Bár a Közel-Keleten töltött idő rövid volt, a tapasztalat nemzetközi szinten is bővítette látókörét és erősítette játékát.

A válogatottságot illetően sem ismeretlen számára a nemzeti tizenegy mezének súlya: 2022-ben Görögország ellen mutatkozott be a magyar válogatottban felkészülési mérkőzésen, míg legutóbb 2025 júniusában Azerbajdzsán ellen kapott lehetőséget, szintén barátságos keretek között.